本书系统介绍偏微分方程的基本理论、求解方法、数值实现及其在现代科学技术中的
应用, 主要面向数学系三年级本科生及相关专业研究生. 全书以四大经典偏微分方程为主
线, 构建了从理论基础到实际应用的完整知识体系. 本书的主要内容包括偏微分方程的基
础概念、一阶偏微分方程、波动方程、热传导方程以及拉普拉斯方程. 本书的特色在于理
论深度与实用性的平衡, 既注重数学理论的严谨推导, 又强调数值计算和工程应用的结合. 每章均配有精心设计的习题和应用案例, 能够帮助学生建立完整的知识框架, 并培养其解
决实际问题的能力.

第 1 章 偏微分方程概论 1
1.1 偏微分方程的发展历史 1
1.1.1 三类基本方程 1
1.1.2 物理学中重要的非线性偏微分方程 2
1.1.3 偏微分方程在其他学科的应用 4
1.2 偏微分方程的基本概念 5
1.2.1 基本定义与方程类型 5
1.2.2 解的结构与定解条件 6
1.2.3 叠加原理 9
1.3 二阶线性偏微分方程的分类 9
1.3.1 判别式及分类方法 10
1.3.2 典型代表及其说明 11
1.4 傅里叶级数 12
1.4.1 傅里叶级数的定义及收敛性定理 12
1.4.2 吉布斯现象 14
1.4.3 正则性与收敛速度 15
1.5 傅里叶变换 15
课后习题 17
第 2 章 一阶偏微分方程的求解与应用 19
2.1 方程的导出 19
2.1.1 交通流模型 19
2.1.2 气体动力学方程组 20
2.2 一阶半线性偏微分方程的求解及应用 21
2.3 拟线性一阶偏微分方程 24
2.3.1 拟线性偏微分方程的特征线求法 24
2.3.2 标量守恒律方程弱解的定义及性质 27
2.4 一阶偏微分方程的应用: 交通流建模与分析 28
2.4.1 有流出的单车道模型 29
2.4.2 双车道模型的建立 33
课后习题 37
第 3 章 波动方程及其应用案例 40
3.1 方程的导出与定解问题 41
3.1.1 方程的导出 41
3.1.2 定解问题 43
3.2 一维波动方程的求解 44
3.2.1 柯西问题 44
3.2.2 初边值问题 50
3.2.3 数值算法 58
3.3 三维波动方程 59
3.3.1 从麦克斯韦方程组到波动方程 60
3.3.2 三维波动方程柯西问题的求解 61
3.3.3 有界区域上波动方程的求解 68
3.4 波动方程的应用案例 75
3.4.1 卫星导航定位系统 75
3.4.2 声波方程与反演 78
课后习题 82
第 4 章 热传导方程及其应用案例 85
4.1 热传导方程的导出及定解条件 86
4.1.1 方程的导出 86
4.1.2 定解条件 87
4.2 一维热传导方程的求解 88
4.2.1 柯西问题 89
4.2.2 有界区域上的分离变量法 92
4.2.3 数值算法 94
4.3 高维热传导方程的求解 96
4.3.1 三维热传导方程柯西问题的显式解 97
4.3.2 单位圆上热传导方程的求解 100
4.3.3 热传导方程的极值原理 102
4.3.4 用能量方法证明解的唯一性和稳定性 105
4.3.5 数值解 107
4.4 热传导方程引起的无限传播速度悖论 109
4.4.1 无限传播速度的悖论 109
4.4.2 Cattaneo 定律 110
4.4.3 修正热传导方程的有限传播速度 115
4.5 热传导方程的应用案例: 脉冲热流在薄膜中的传播 117
4.5.1 问题描述及模型建立 117
4.5.2 修正热传导方程在圆上的显式解 119
4.5.3 数值实现 122
课后习题 122
第 5 章 拉普拉斯方程及其应用案例 126
5.1 拉普拉斯方程的导出及定解条件 127
5.1.1 方程的导出 127
5.1.2 定解条件 127
5.2 拉普拉斯方程的狄利克雷问题及格林函数 128
5.2.1 狄利克雷问题的求解及格林函数 129
5.2.2 平均值公式及极值原理 132
5.3 单位圆上的拉普拉斯方程 134
5.3.1 分离变量法 134
5.3.2 格林函数法 137
5.4 单位球上的拉普拉斯方程 140
5.4.1 分离变量法 141
5.4.2 格林函数法 145
5.5 圆柱体上的拉普拉斯方程 146
5.5.1 分离变量法 147
5.5.2 贝塞尔方程及贝塞尔函数 150
5.6 拉普拉斯方程的应用案例 155
5.6.1 球谐函数的应用: 电子在原子中的分布 155
5.6.2 贝塞尔函数的应用: 不可压缩无旋流体的流动问题 157
课后习题 163
第 6 章 Python 程序 166
6.1 一维波方程有限元算法的 Python 程序 166
6.2 三维波方程有限差分算法的 Python 程序 168
6.3 三维波方程有限元算法的 Python 程序 171
6.4 一维热方程有限差分算法的 Python 程序 173
6.5 一维热方程有限元算法的 Python 程序 174
6.6 三维热方程有限差分算法的 Python 程序 176
6.7 三维热方程有限传播速度的 Python 程序 178
参考文献 181